Frecis e acuilons intal cīl de matematiche
La tasselazion di Penrose
(http://frecceaquiloni.dmf.unicatt.it/)
A. Musesti - M. Paolini
Dipartiment di Matematiche e Fisiche
Universitāt Catoliche - Brescia
fat cun www.povray.org
La tasselazion di Penrose e je une maniere NO PERIODICHE par jemplā il plan
doprant dōs figuris: l'ACUILON (planelis claris) e la FRECE (planelis scuris)
In veretāt la particolaritāt di cheste tasselazion e je la APERIODICITĀT des figuris:
di fat, cun chestis figuris, NOL E' PUSSIBIL jemplā il plan in mūt PERIODIC.
O viodarģn plui indenant ce che e je une TASSELAZION PERIODICHE
e o varģn di zontā dai VINCUI DI ADIACENCE
par garantī la proprietāt di aperiodicitāt
costruzion de frece e dal acuilon
I doi tassei 'acuilon' e 'frece' si puedin costruī tacant di un
decagon regolār di lāt 1 e rai 1,618 cirche (rapuart auri)
cu la costruzion che si viōt inte animazion
al č curiōs notā che o tornģn a cjatā simpri il rapuart auri.
Cheste e je la FRECE
e chest al č l'ACUILON
tasselazion periodiche
Al č avonde facil jemplā il plan cun chestis dōs figuris:
di fat, par vie de lōr costruzion, lis dōs planelis si puedin meti dongje
di mūt di formā une losanghe (di lāt 1,618...)
Ma in cheste maniere o vin jemplāt il plan in mūt PERIODIC:
di fat, come che e mostre la animazion, lis planelis si puedin traslā in plui direzions,
e il risultāt de traslazion no si pues distingui de situazion iniziāl.
Par vź une tasselazion PERIODICHE a coventin almancul dōs traslazions cun direzions diferentis
cun cheste proprietāt di invariance.
Une tasselazion fate cun losanghis e ą ancje altris simetriis, tant che, par esempli, lis rotazions di 180 grāts
dut cās cheste no je une simetrie de nestre tasselazion periodiche
di fat la disposizion dai colōrs e risulte diferente di chź iniziāl.
Atenzion: lis simetriis a ąn di cjapā dentri DUTE la tasselazion e no dome une planele singule.
Cheste tasselazion nus da il grup di simetriis che inte cristalografie al č clamāt "cm".
Si puedin otignī dutis lis (infinidis) simetriis cu la combinazion di dōs traslazions
e di une riflession rispiet a une rete verticāl.
Naturalmentri si puedin fā ancje altris sieltis pai "gjeneradōrs".
La rotazion di 180 grāts rispiet a une losanghe invezit no va ben!
Gjave il cās di une tasselazion fate dome di losanghis,
li che si cjate il grup di simetrie "cmm"
imposizion dai vincui di adiacence
Par rindi impussibile cheste soluzion o podģn sacomā lis planelis come lis tessaris di un puzzle
come che e mostre la animazion.
Di cumņ indenant o pensarģn simpri lis planelis cun cheste carateristiche, ancje cuant che no sarą visualizade.
provģn... e tornģn a provā
Duncje nol č plui pussibil meti dongje l'acuilon e la frece par fā une losanghe,
ma forsit si pues ancjemņ jemplā il plan par tentatīfs.
Cemūt podģno jessi sigūrs che al sedi PARDABON pussibil jemplā il plan cence lassā busis?
Ben, o mostrarģn cumņ un mūt operatīf par fālu.
planelis crevadis
La prime operazion di fā e je chź di CREVĀ lis planelis di mūt di otignī doi triangui isosselis.
ACUILON: doi triangui isosselis acūts.
FRECE: doi triangui isosselis otūs.
triangui di aur
La animazion e mostre che i triangui otignūts a ąn i lāts che a rispietin il rapuart auri.
Triangui acūts (acuilon): base = 1, lāt = 1,618...
Triangui otūs (frece): lāt = 1, base = 1,618...
sudivision
La idee e je chź di dividi i tocs triangolārs in copiis plui piēulis di lōr stes
Triangui acūts: doi triangui acūts e un triangul otūs
Triangui otūs: un triangul otūs e un triangul acūt
deflazion inflazion
Metģn cumņ in vore il procediment...
Si scomence cuntune cualsisei disposizion iniziāl (assiome),
par esempli cuntun decagon fat di 5 acuilons
Cumņ metģn in vore il procčs di sudivision par ognidun dai triangui par vź cussģ une sudivision plui fisse
Notģn che i gnūfs triangui a tornin a componi frecis e acuilons
In fin ripuartģn dutis lis planelis a la dimension origjināl
e tornģn a meti in vore il procediment une seconde volte.
Cumņ o vin ancje triangui otūs di sudividi.
La procedure e rispiete i vincui di adiacence fra i tassei
Ripuartģn di gnūf dutis lis planelis a la dimension origjināl.
Tierce iterazion...
Cuarte...
O cjatģn un decagon centrāl compagn a chel de configurazion iniziāl!
Cuinte iterazion...
Seste...
Setime...
Otave...
Si pues lā indenant planelant une aree simpri plui grande.
Ve chi il risultāt dopo nūf iterazions
In sostance o vin cjatāt un procediment par tasselā dut il plan rispietant i vincui di adiacence
simetriis de tasselazion
Par vie de sielte iniziāl (decagon cun 5 acuilons) la planelazion
e varą une simetrie rotazionāl (cun rotazions di 72 grāts)
e ancje des simetriis assiāls (riflessions rispiet a 5 retis che a passin pal centri)
come che si pues capī cjalant chescj moviments.
Lis simetriis a son in dut 10 e a formin il grup diedrāl "D5" (simetriis di un pentagon).
Chest grup al pues jessi gjenerāt di une rotazion di 72 grāts ...
... e di une riflession fate rispiet a une rete sielzude in maniere oportune che e passe pal centri.
uciei... e retii
Si pues ancje cambiā un pōc la forme des FRECIS e dai ACUILONS di mūt di otignī une forme di fantasie
cuntun stīl simil a chel dai disens di Escher
Doprģn chestis gnovis figuris par jemplā il plan...
il risultāt dut cās al ą une struture compagne a chź de tasselazion fate cu lis FRECIS e cui ACUILONS.
Ve chi il risultāt dopo cinc iterazions de tecniche di deflazion/inflazion
losanghis largjis, losanghis sutilis
Une alternative interessante si ą invezit sielzint in maniere oportune dōs losanghis diferentis
la animazion nus mostre dut cās une relazion une vore strente cul cās des Frecis e dai Acuilons
Lis losanghis a son dividudis in doi triangui isosselis
che a son compagns di chei za cjatāts, fūr che pes proporzions.
Si pues meti in vore un procediment di deflazion/inflazion basantsi suntune oportune division dai triangui auris
simile a chź za doprade pes Frecis e pai Acuilons
Daspņ sīs iterazion dal gnūf procediment di deflazion/inflazion
scomenēant cuntune oportune configurazion iniziāl
o vin cheste tasselazion fate di losanghis...
la tasselazion origjināl di Penrose
Roger Penrose al ą provāt a dividi un grant pentagon regolār in sīs pentagons plui piēui
che a ąn il lāt compagn al cuadrāt dal rapuart auri rispiet al pentagon grant.
Cu la ripetizion dal procediment si viōt che a restin des busis
cualchidune e ą forme pentagonāl, e duncje e pues jentrā inte procedure di sudivision,
cualchidune altre invezit e ą une forme diferente: di losanghe, di corone e di stele.
I trź colōrs doprāts pai pentagons nus judin a marcā i vincui di adiacence
che nus garantissin di otignī une tasselazion no periodiche.
In cheste maniere si ą un insieme di sīs tassei che a ąn la proprietāt di aperiodicitāt.
Ancjemņ in dģ di vuź no si sa se e esist une singule planele che e ą la proprietāt di aperiodicitāt!
Frecis e acuilons intal cīl de matematiche
Intal 1974 Roger Penrose al ą ideāt lis tasselazions che a puartin il so non,
dulą che la matematiche, la gjeometrie, la fisiche e la art si cjatin insieme in mūt sorprendent
La realizazion di cheste curte animazion e je stade une sfide impegnative ma cetant divertente.