Fléchettes et cerf-volants dans le ciel mathématique
Le pavage de Penrose
(http://frecceaquiloni.dmf.unicatt.it/)
A. Musesti - M. Paolini
Dept. de Mathématiques et Physique
Université Catholique - Brescia
crée en www.povray.org
Le pavage de Penrose est un recouvrement NON PÉRIODIQUE du plan
par deux types de pavés : les CERF-VOLANTS (pavés clairs) et les FLÉCHETTES (pavés foncés).
Ce qui est vraiment particulier pour ce pavage,
c'est qu'on ne peut pas utiliser ses deux pavés pour obtenir des pavages périodiques.
Nous allons maintenant expliquer ce qu'est un pavage non périodique
et il va falloir introduire les contraintes de contiguïté entre les pavés
pour assurer qu'il soit bien non périodique.
la construction des cerfs-volants et des fléchettes
On peut construire les deux pavés, le "cerf-volant" et "la fléchette"
à partir d'un décagone régulier de côté 1 et de rayon 1.618... (le nombre d'or)
selon les règles montrées dans l'animation.
De manière surprenante, on tombe sur l'omniprésent nombre d'or.
Voici la fléchette
et voici le cerf-volant.
pavage périodique
Il est très simple de couvrir tout le plan avec les deux pavés :
on peut les accoler facilement
pour former un losange (de côté 1.618...).
Mais on obtient ainsi un pavage périodique :
comme vous voyez, les pavés peuvent bouger dans de nombreuses directions
sans pour autant affecter le patron original.
Pour qu'un pavage soit périodique, il faut qu'on puisse faire des translations dans au moins deux directions
sans changer le patron original.
Pour un pavage fait de losanges, il y a encore d'autres symétries, par exemple des rotations de 180 degrés.
Pour notre pavage périodique, les rotations ne sont pas des symétries
car les couleurs changent et on n'obtient plus le patron original.
À remarquer que les symétries doivent bouger tous les pavés, pas seulement quelques-uns.
Dans ce cas, on obtient le groupe de symétrie qu'on appelle "cm" en cristallographie.
Nous pouvons obtenir toutes les symétries possibles en combinant deux translations
et une réflexion autour d'un axe vertical.
Évidemment, on peut aussi choisir d'autres "générateurs".
Une rotation de 180 degrés autour d'un losange ne convient pas !
Il faut prendre un pavage qui n'a que des losanges
pour obtenir le groupe "cmm".
contraintes de contiguïté
Pour éviter un pavage périodique, on peut prendre des pavés comme des pièces d'un puzzle
comme vous voyez dans l'animation.
À présent nous allons supposer que les pavés sont de cette forme, même si on ne le montre pas.
essais et échecs
Il n'est plus possible d'agencer les cerf-volants et les fléchettes pour former des losanges
mais il est toujours possible (au moins à la main) de recouvrir tout le plan.
Comment s'assurer qu'il est vraiment possible de recouvrir tout le plan sans laisser de trous ?
Nous allons décrire un algorithme qui ne laisse pas de trous.
casser les pavés
À la première étape, nous divisons les pavés en deux, ce qui donne deux triangles isocèles.
Cerf-volant : deux triangles isocèles aigus.
Fléchette : deux triangles isocèles obtus.
triangles d'or
L'animation montre que les côtés des triangles sont dans les proportions du nombre d'or.
Triangles aigus : base = 1, côté = 1.618...
Triangles obtus : côté = 1, base = 1.618...
subdivision
L'idée générale, c'est de diviser les triangles en copies plus petites.
Triangles aigus : deux triangles aigus et un triangle obtus.
Triangles obtus : un triangle obtus et un triangle aigu.
contraction, dilatation
Appliquons l'algorithme...
On commence avec n'importe quelle configuration initiale (le point de départ),
par exemple un décagone à cinq cerf-volants.
Puis on applique l'algorithme de division sur chaque triangle pour obtenir un nouveau pavage.
Regardez : les nouveaux triangles s'agencent ensemble et forment des cerf-volants et des fléchettes.
Finalement, on agrandit pour obtenir la taille de départ
et on répète la procédure encore une fois.
On doit maintenant aussi diviser certains triangles obtus.
La procédure doit satisfaire les contraintes de contiguïté.
On agrandit de nouveau pour obtenir la taille originale.
Troisième itération...
Quatrième itération...
Un décagone central exactement comme le décagone original est apparu !
Cinquième itération...
Sixième itération...
Septième itération...
Huitième itération...
On peut continuer et paver une partie de plus en plus grande du plan.
Voici le résultat après neuf itérations.
Finalement, nous avons un algorithme qui permet de paver tout le plan en respectant les contraintes de contiguïté.
symétries des pavages
En partant de la configuration originale (un décagone à cinq cerf-volants), le pavage qui en résulte
aura une symétrie de rotation (de 72 degrés)
ainsi que des symétries axiales (des réflexions autour de cinq axes passant par le centre)
comme vous pouvez le voir...
Il y a exactement dix symétries qui forment le groupe dihédral "D5" (ce sont les symétries du pentagone régulier).
On peut générer ce groupe par une rotation de 72 degrés
et une réflexion autour d'un certain axe passant par le centre.
oiseaux... et reptiles
Nous pouvons modifier les silhouettes de la fléchette et du cerf-volant pour obtenir de nouveaux pavés
dans l'esprit des oeuvres d'Escher.
On place les nouvelles formes dans le pavage...
La structure est la même qu'avec la fléchette et le cerf-volant.
Voici le résultat après quelques itérations.
losanges épais, losanges minces
On peut construire un pavage remarquable avec deux losanges différents.
Comme vous pouvez le voir dans l'animation ce pavage n'est pas étranger au pavage avec fléchettes et cerfs-volants.
Les losanges sont divisés en deux triangles isocèles
comme ceux qu'on a déjà vus, mais dans d'autres proportions.
On peut appliquer notre algorithme à partir d'une subdivision bien choisie des triangles d'or
de façon similaire à la division des fléchettes et cerf-volants.
Après six itérations de l'algorithme,
à partir dune configuration initiale bien choisie,
nous obtenons le pavage avec des losanges...
les pavés de Penrose originaux
Roger Penrose a essayé de diviser un grand pentagone régulier en six pentagones plus petits
dans une proportion égale au carré de l'inverse du nombre d'or.
Si on répète la subdivision plusieurs fois, il reste des trous.
Il y a des trous de la forme d'un pentagone régulier, donc on peut les inclure dans l'algorithme de subdivision.
D'autres trous ont d'autres formes : losange, couronne, étoile.
Les trois couleurs différentes aident pour repérer les contraintes de contiguïté
et obtenir un pavage non périodique.
On obtient ainsi un pavage non périodique à six pavés.
On ne sait toujours pas s'il existe un pavage non périodique avec un seul pavé !
Fléchettes et cerf-volants dans le ciel mathématique
En 1974, Roger Penrose a découvert les pavages fascinants qui portent son nom
On y trouve un mélange surprenant de mathématiques, géométrie, physique et art
La production de cette courte animation a été un travail à la fois exigeant et agréable.